les espaces de modules – 3. à quoi ils servent

[après plus d'un an, je continue mon blabla sur les espaces de modules]

alors quel est l’intérêt des mathématiciens à construire ces espaces de modules et à les étudier ? et puis, qu’est-ce que ça veut dire étudier un bazar pareil ? je disais dans un autre billet que l’activité du géomètre moderne consiste à décrire des espaces qu’il ne peut pas dessiner ou se représenter visuellement parce qu’ils ont une trop grande dimension. néanmoins, une induction sur les exemples en basses dimensions suggère que ces espaces invisibles doivent avoir des formes différentes les uns des autres, il y a donc un défi intellectuel à inventer des méthodes pour se les représenter et les comparer entre eux. or, la plupart des systèmes intéressants ayant plus de 3 degrés de libertés, les espaces de modules sont des exemples naturels où le mathématicien peut appliquer et développer ses techniques d’appréhension des grandes dimensions.

ceci dit, l’étude d’un espace mathématique est rarement gratuite, il y a généralement derrière un résultat important lié à une structure de l’espace. par exemple, le problème de savoir combien de courbes d’un type donné passent par tant de points donnés dans la plan (par deux points passe une seule droite, par trois points un seul cercle…) se résout par des formules faisant appel à une structure particulière de l’espace des modules des courbes du plan que, pour ne pas me perdre dans trop de détails, je décrirais comme le ‘bord’ de l’espace des modules (les curieux pourront chercher des références sur la théorie de Gromov-Witten).

autre exemple, c’est pour prouver les conjectures de Weil, provenant de la théorie des nombres, que Grothendieck a imaginé de nouvelles technologies pour décrire et étudier les espaces : les topos et le spectre étale. les topos sont une notion de continuum dont la définition est directement issue de la philosophie des espaces de modules : un topos est un espace défini par l’ensemble des (ensembles de) choses qu’il peut paramétrer. l’application la plus connue consiste à associer à un anneau son spectre qui est l’espace des modules de toutes les localisations de cet anneau. je n’explique pas plus, il suffit de savoir que les spectres sont un truc de transformer certains objets de l’algèbre en des espaces, ça permet d’utiliser l’intuition et le langage géométrique pour comprende l’algèbre, c’est super malin (et c’est parmi mes gadgets préférés).

autre exemple, encore, il se trouve que les grassmaniennes dont je parlais dans le billet précédent fournissent des approximations pour l’espace des modules de fibrés vectoriels. je ne vais pas expliquer ce que sont les fibrés vectoriels parce que ça serait plus ennuyeux que du cinéma français, il suffit de savoir que ce sont des objets qui ont été inventés pour étudier l’infiniment petit et qui apparaissent naturellement lorsqu’on fait des équations différentielles ; ils trouvent donc beaucoup d’applications en physique et sont au géomètre moderne ce que le malt est à la bière. et pour ceux qui connaissent, la structure de leurs espaces de modules sont liés à la notion de classes caractéristiques, qui sont des (sortes de) nombres qui décrivent les fibrés vectoriels.

un dernier exemple d’espace de modules est celui classifiant les modèles d’une théorie logique (qui est aussi un exemple d’application des topos). ces espaces de modules sont très utiles pour comprendre des problèmes comme l’indépendance de l’hypothèse du continu ou les bien-connus-pour-être-célèbres théorèmes de Gödel. à son époque, Gödel n’avait pas à sa disposition cette technologie, mais la formulation moderne de la logique en termes de topos permet de comprendre agréablement les choses en introduisant une intuition géométrique.

j’arrête-là, chacune de ces situations demanderait de longues explications et je dois ennuyer tout le monde à parler de choses sans les expliquer. mais, physique mathématique, topologie, géométrie différentielle, théorie des nombres, logique… les espaces de modules sont absolument partout en maths et c’est ce que je voulais illustrer.

en outre, mon but à écrire ainsi n’est pas d’expliquer ce que font les mathématiciens mais de montrer que leurs idées les plus récentes et les plus élaborées sont en fait des idées simples qui s’illustrent aussi dans l’expérience de tout le monde. ce qu’il faut retenir lorsqu’on n’est pas mathématicien c’est :

– l’invention des espaces de modules comme la forme contenant toute les variations possible d’un système (avec Kant, on devrait dire la ‘forme a priori’)

– que les espaces de grandes dimensions sont faciles à construire et donc à comprendre en principe (mais pas à étudier, ça c’est toujours dur)

– et que penser un système dans la diversité de ses degrés de liberté (le mathématicien dirait ‘à travers ses modules’) est toujours intelligent.

je ne vais pas élaborer longtemps sur ce dernier point, il me paraît assez clair en soi. on peut trouver des exemples simple où plusieurs dimension existent, il suffit de penser à l’échiquier politique. traditionnellement on représente les partis politiques sur une ligne (en fait l’arc de cercle des sièges parlementaires), il y a la gauche et la droite et le centre et les extrêmes. il est sûr que cette division des choses reflète une certaine réalité, mais elle la simplifie aussi : comment penser les partis écologistes dans cet alignement ?

le critère que je comprends pour faire la différence entre droite et gauche est le rôle plus ou moins régulateur de l’économie et des services que les partis veulent donner à l’état. mais cela crée déjà deux degrés de liberté : je peux être pour une économie libre ou pas et je peux reconnaître plus ou moins de prérogatives à l’état, il y a une certaine indépendance entre les deux notions. l’alignement unidimensionnel de l’échiquier politique est donc simplificateur de ces positions. d’autant que l’écologie vient créer une dimension supplémentaire.

bref, je n’ai rien de malin à dire sur tout ça, ça n’est pas ma compétence. mais je peux dire que trouver les degrés de liberté (qui sont reliés en politique à ce que les analystes appellent les clivages) est toujours une bonne idée pour comprendre un système. il y a un espace politique, il n’est clairement pas unidimensionnel (mais ne me demandez pas combien de dimension il a !) et on devrait encourager l’utilisation d’une vraie description politique multidimensionnelle. il faudrait pour cela trouver une bonne métaphore spatiale (une rose des vents avec ses est-ouest-nord-sud ? l’espace 3D usuel avec ses bas-haut-droit-gauche-devant-derrière ?) peut-être faudrait-il inventer tout un vocabulaire. en tout cas, le trouver reviendrait à trouver une meilleure approximation de l’espace (de modules) politique.

ce n’est pas un hasard si, pour comprendre la politique, on utilise un vocabulaire spatial ; la démarche qui utilise un vocabulaire spatial en politique et la démarche qui construit les espaces de modules en mathématiques sont identique dans leur forme et se fondent sur cette idée de considérer comme un tout (ontologiser diraient les philosophes) l’ensemble de toutes les variations possibles d’un système. il est tout à fait remarquable que pour parler de ce tout, nous utilisions une métaphore spatiale. je ne sais pas l’expliquer mais l’intuition spatiale est puissante ; peut-être cela a-t-il à voir avec la nature primitive de la perception spatiale dans la structure de notre entendement, en tout cas, c’est très efficace.

(une remarque : dans ma comparaison entre espace politique et espace mathématique, il ne faut surtout pas lire une proposition de mathématiser la politique ; c’est évidemment impossible et la théorie des catastrophes, qui avait des ambitions comparables, a échoué.)

philosophiquement, la structure de cette démarche est lié à la théorie kantienne et j’espère trouver le courage d’en parler dans un prochain billet. je pense que la réflexion kantienne touche la nature profonde des mathématiques et l’exemple de la notion d’espace de modules illustre cela.  contrairement à ce qu’on pense trop souvent les mathématiques ne sont pas derrière les choses du monde, elles sont plaquées dessus. et le rêve qui consiste à trouver des équations pour tout est une illusion créée par cette erreur : les choses de ce bas monde ne sont pas mathématiques, elles sont mathématisables ! (et encore seulement les plus simples d’entre elles.)

je vous laisse méditer sur cette subtile différence.

[à suivre]